¿Es el número $\ 4\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} + \sqrt{97 - 56\sqrt {3}\ }$ un entero?

(Olimpiadas Africanas, Túnez 2004)

Llamemos a dicho número. Por tanto:

$x - 4\sqrt{4 -2\sqrt 3} = \sqrt{97 - 56\sqrt 3}$

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad:

$x^2 +16(4 -2\sqrt 3) -8x\sqrt{4 - 2\sqrt 3} = 97 - 56\sqrt 3 \ \Rightarrow -8x \sqrt{4 -2\sqrt 3} = -x^2 + 33 -24\sqrt 3$

De nuevo elevamos al cuadrado ambos miembros e ignorando la parte de la derecha donde no aparece $\sqrt 3$ tenemos:

$64x^2 (4 - 2\sqrt 3) = \ldots + (48x^2 - 1584) \sqrt 3$

Por tanto el número que multiplica a $\sqrt 3$ en ambos miembros debe ser el mismo.

$- 128x^2\sqrt 3 = (48x^2 - 1584) \sqrt 3 \ \Rightarrow x^2 = {1584 \over (48+128)} = 9$

¡Es decir que x es exactamente 3!

Blog de mates de Jaime